실습 · 연습문제 1개

PINN은 자동미분으로 잔차를 계산하지만, 학습된 모델이나 시뮬레이터 출력이 격자 값으로만 주어질 때도 잔차를 계산해 볼 수 있다. 1차원 열방정식

$$u_t = \alpha\,u_{xx}$$

에 대해, 격자 값 u[n, j] $\approx u(x_j, t_n)$ (행이 시각, 열이 위치, 간격 $\Delta t$, $\Delta x$)에서 내부 점의 잔차

$$r_{n,j} = \frac{u_{n+1,j} - u_{n-1,j}}{2\Delta t} - \alpha\,\frac{u_{n,j+1} - 2u_{n,j} + u_{n,j-1}}{\Delta x^2}$$

을 계산하는 함수 heat_residual(u, dx, dt, alpha)를 완성한다. 시간과 공간 모두 중심차분이므로 내부 점 $1 \le n \le N_t - 2$, $1 \le j \le N_x - 2$에서만 정의된다.

인자	뜻
u	shape (Nt, Nx) 격자 값
dx, dt	공간·시간 간격
alpha	확산 계수

반환값의 shape은 (Nt - 2, Nx - 2)다.

테스트는 다음을 확인한다.

• 정확해 $e^{-\alpha\pi^2 t}\sin\pi x$의 잔차는 작고, 간격을 절반으로 하면 약 4분의 1로 준다(2차 정확도).
• 확산 계수를 틀리게 넣은 해는 잔차가 크다.
• $u = x$처럼 시간에 무관한 선형 함수의 잔차는 0이다.

힌트: 반복문 없이 배열 slicing으로 쓸 수 있다. u[2:, 1:-1] - u[:-2, 1:-1]은 모든 내부 점의 시간 중심차분 분자다.