실습 · 연습문제 2개

물리량 $n$개의 차원을 기본 차원 $k$개(예: 질량, 길이, 시간)의 지수로 쓴 차원 행렬 D (shape (k, n))가 있다. 열 $i$는 물리량 $q_i$의 차원이다. 무차원 조합 $\Pi = \prod_i q_i^{e_i}$의 지수 벡터 $\mathbf{e}$는 $\mathbf{D}\mathbf{e} = \mathbf{0}$을 만족한다.

함수 pi_exponents(D, rep, target)을 완성한다.

• rep: 반복 변수의 열 번호 목록. 반복 변수들의 차원 행렬 D[:, rep]은 가역이라고 가정한다(정사각, rank가 $k$).
• target: π 그룹에 지수 1로 들어갈 변수의 열 번호.
• 반환: 길이 $n$의 지수 벡터 e. e[target] = 1, 반복 변수 자리에는 무차원이 되도록 푼 지수, 나머지는 0.

예: 진자의 $(T, L, g, m, \theta_0)$에서 rep = [1, 2, 3], target = 0이면 $\Pi = T L^{-1/2} g^{1/2}$이므로 [1, -0.5, 0.5, 0, 0]이다.

테스트는 다음을 확인한다.

• 반환한 e가 $\mathbf{D}\mathbf{e} = \mathbf{0}$을 만족하는지
• 진자 예와 유체 항력 예(항력 계수, Reynolds 수)에서 알려진 지수가 나오는지
• 반복 변수도 목표 변수도 아닌 변수의 지수는 0인지

힌트: 반복 변수의 지수 $\mathbf{x}$는 D[:, rep] @ x = -D[:, target]의 해다. 본문 셀 3과 같다.

SINDy는 $\dot{\mathbf{X}} \approx \boldsymbol{\Theta}\,\boldsymbol{\Xi}$에서 희소한 계수 행렬 $\boldsymbol{\Xi}$를 찾는다. 함수 stlsq(Theta, dX, thr, iters)를 완성한다.

인자	shape	뜻
Theta	(T, p)	후보 함수 사전
dX	(T, n)	상태의 시간 미분
thr	실수	임계값 $\lambda$
iters	정수	반복 횟수

알고리즘은 다음과 같다.

1. 최소제곱 해 $\boldsymbol{\Xi}$를 구한다(np.linalg.lstsq).
2. iters번 반복한다. 절댓값이 thr보다 작은 계수를 0으로 만들고, 각 열 $j$마다 0이 아닌 항만으로 최소제곱을 다시 풀어 그 계수를 갱신한다.
3. (p, n) 배열을 반환한다.

테스트는 다음을 확인한다.

• 잡음 없는 데이터에서 참 계수를 정확히 복원하는지
• 반환한 0이 아닌 계수의 절댓값이 모두 thr 이상인지
• 한 열의 모든 계수가 임계값보다 작으면 그 열이 모두 0이 되는지(오류 없이)
• 남은 항으로 다시 맞추는 단계가 있는지(한 번 자른 뒤 다시 맞추지 않으면 계수가 치우친다)

힌트: 본문 셀 1의 stlsq와 같은 일을 한다. 남은 항이 하나도 없는 열은 건너뛴다.