실습 · 연습문제 1개

고해상도 격자의 값 $u_i$(길이 $N_f$)를 연속한 $K$칸씩 묶어 평균하면 거친 격자의 값 $\bar{u}_J$(길이 $N_f/K$)가 된다. Burgers 방정식의 비선형 항 $u^2/2$를 같은 방식으로 걸러 내면 $\overline{u^2}/2 \ne \bar{u}^2/2$이고, 그 차이

$$\tau_J = \frac{1}{2}\Big(\overline{u^2}_J - \bar{u}_J^{\,2}\Big)$$

가 거친 격자에서 해상하지 못하는 규모의 효과, 즉 subgrid 응력이다.

함수 filter_and_stress(u, K)를 완성해 (ubar, tau)를 반환한다.

• u: shape (Nf,) 또는 (B, Nf)인 배열(여러 스냅샷을 한 번에 줄 수 있다). Nf는 K의 배수다.
• ubar, tau: shape (Nf // K,) 또는 (B, Nf // K).

테스트는 다음을 확인한다.

• 블록 안에서 값이 일정하면 $\tau = 0$이다.
• 블록 안에서 기울기 $s$로 선형인 장에서는 $\tau = s^2 \Delta x^2 (K^2 - 1)/24$이다($\Delta x$는 고해상도 격자 간격). 블록 안 분산의 절반이다.
• 어떤 입력에서도 $\tau \ge 0$이다(실현성, realizability). 블록 평균 필터에서 $\overline{u^2} - \bar{u}^2$은 블록 안의 분산이기 때문이다.
• 2차원 입력(스냅샷 여러 개)도 처리한다.

힌트: u.reshape(*u.shape[:-1], -1, K).mean(-1)이 마지막 축을 K칸씩 묶어 평균한다. 반올림 오차로 아주 작은 음수가 나오지 않게 하려면 분산을 직접 계산하는 방식(블록 평균을 뺀 값의 제곱 평균)이 더 안전하다.